Giải bài tập Hình học 10 bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 1 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠B = 58o và cạnh a = 72cm. Tính ∠C, cạnh b và đường cao h.

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

– Ta có: ∠C = 90o – ∠B = 90o – 58o = 32o

– Ta có: b = BC.sin58o = a.sin58o = 61,06 (cm)

– Ta có: c = BC.cos58o = a.cos58o = 38,15 (cm)

Do đó:

$h_a=frac{AB.AC}{BC}=frac{c.b}{a}=frac{38,15.61,06}{72}= 32,35 left(cmright)$

Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các góc ∠A, ∠B, ∠C.

Lời giải:

$coshat{A} = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{85^2+54^2-52,1^2}{2.85.54} =0.81Rightarrow hat{A}=36^o$

$coshat{B} = frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} = frac{54^2+52,1^2-85,1^2}{2.54.52,1} =-0.28Rightarrow hat{B}=106^o28'$

=> angle C = 180^o-angle A -angle B=37^o32'

Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, các góc ∠B, ∠C của tam giác đó.

Lời giải:

– Ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccos∠A

= 82 + 52 – 2.8.5.cos120o

$=64+25+80frac{1}{2}=129$

=>a=sqrt{129}=11,36 left(cmright)

Ta có:

=> ∠B = 37o34′

=> ∠C = 180o – (∠A + ∠B)

= 180o – (120o + 37o34′) = 22o26′

Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Lời giải:

Ta có:

$p=frac{a+b+c}{2}=frac{7+9+12}{2}=14$

p-a=7

p-b=5

p-c=2

Vậy S=sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)}=sqrt{14.7.5.2}=7.2.sqrt{5}=14sqrt{5}=31,3left(đvdtright)

Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o. Tính cạnh BC, cho biết cạnh AC = m và cạnh AB = n.

Lời giải:

Ta có: BC2 = AC2 + AB2 – 2.AB.AC.cos∠A

= m2 + n2 – 2.m.n.cos120o

= m2 + n2 + mn

$BC=sqrt{m^2+n^2+m.n}$

Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10): Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Lời giải:

a) Ta có:

$coshat{C} = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = frac{8^2+10^2-13^2}{2.8.10}$ $frac{ }{ }sim-0,031$

Vậy $angle C = 91^{o} 47^{'}$

Vậy trong tam giác có góc C là góc tù.

Ta có:

$AM^2=frac{2left(AC^2+AB^2right)-BC^2}{4}=frac{2left(10^2+13^2right)-8^2}{4}=118,5$

Vậy AM = sqrt{118,5}=10,89

Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm;

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

Lời giải:

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất suy ra là góc C là góc lớn nhất.

$coshat{C} = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = frac{3^2+4^2-6^2}{2.3.4} =frac{-11}{24} =-0,458$

Vậy angle C=117^o16'

b, Cạnh a = 40cm lớn nhất suy ra góc A là góc lớn nhất.

$coshat{A} = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{13^2+37^2-40^2}{2.13.37} =-0,0644$

Vậy angle A=93^o41'

Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, ∠B = 83o và ∠C = 57o. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Lời giải:

Ta có: ∠A = 180o – (∠B + ∠C) = 180o – (83o + 57o) = 40o

Áp dụng định lí sin ta có:

$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R$

Từ đó suy ra:

$Rightarrow R=frac{a}{2sin A}=frac{137,5}{2sin40^o}=106,96cm$

=>b=2R.sin B=2.106,96.sin83^o=212,33cm

=>c=2R.sin C=2.106,96.sin57^o=179,41cm

Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n. Chứng minh rằng: m2 + n2 = 2(a2 + b2).

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD, đồng thời BO là trung tuyến của ΔABC.

Suy ra:

$BO^2=frac{2left(AB^2+BC^2right)-AC^2}{4}=frac{2left(a^2+b^2right)-n^2}{4}$

$BO=frac{1}{2}BD; nên BO^2=frac{1}{4}BD^2=frac{m^2}{4}$

$Nên frac{m^2}{4}=frac{2left(a^2+b^2right)-n^2}{4}$

⇔ m2 + n2 = 2(a2 + b2) (đpcm)

Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10): Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc ∠BPA = 35o và ∠BQA = 48o. Tính chiều cao của tháp.

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

ΔAPB vuông tại A có ∠APB = 35o

=> AP = ABcot35o (1)

ΔAQB vuông tại A có ∠AQB = 35o

=> AQ = ABcot48o (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

PQ = AP – AQ = AB(cot35o – cot48o)

$Rightarrow AB=frac{300}{cot35^o-cot48^o}=586,457m$

Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10): Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ∠DA1C1 = 49o và ∠DB1C1 = 35o. Tính chiều cao CD của tháp đó.

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Lời giải:

Ta có: A1B1 = AB = 12 m

Xét ΔDC1A1 có: C1A1 = C1D.cot49o

Xét ΔDC1B1 có: C1B1 = C1D.cot35o

Mà A1B1 = C1B1 – C1A1 = C1D.cot35o – C1D.cot49o

= C1D.(cot35o – cot49o)

$Rightarrow C_1D=frac{A_1B_1}{cot35^o-cot49^o}=frac{12}{cot35^o-cot49^o}=21,47m$

=> Chiều cao CD của tháp là:

Đánh giá bài viết

Giải bài tập Hình học 10 bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Leave a Comment Cancel reply